+ Yorum Gönder
Okul ve Eğitim ve Her Telden Eğitim Konuları Forumunda Rasyonel sayılar ve rasyonel sayıların eşitliği Konusunu Okuyorsunuz..
  1. Dr Zeynep
    Bayan Üye

    Rasyonel sayılar ve rasyonel sayıların eşitliği








    Rasyonel sayılar ve rasyonel sayıların eşitliği

    Tamsayılar kümesinde toplama, çarpma ve çıkarma işlemleri kapalıdır, yani iki tamsayıyı topladığımızda, çarptığımızda ve çıkardığımızda yine bir tamsayı elde ederiz; Ancak bir tamsayıyı sıfırdan farklı bir diğer tamsayı ile böldüğümüzde kesirli bir sayı karşımıza çıkabilir. O halde T=Z{0} kümesinde bölme işlemi kapalı değildir. Z kümesine 0 hariç diğer tamsayılarla yaptığımız bölme işlemi sonucu karşımıza çıkan kesirli sayıları da eklersek, pÎZ, qÎT olmak üzere bütün şeklindeki sayıların kümesini elde ederiz. Ayrıca = ve = olduğundan bu kümeyi pÎZ, qÎIN olmak üzere bütün şeklindeki sayılar kümesi olarak belirtebiliriz ve bu kümeye rasyonel sayılar kümesi denir. Sembol olarak Q ile gösterilir. Buna göre,

    Q={}

    dir. Ayrıca INÌZÌQ olduğu da görülmektedir.

    Şimdi yatay bir doğru çizelim ve ortada bir yerini işaretleyip, 0 sayısını bu noktaya eşleyelim. Bu noktaya O diyelim. Bu noktanın sağında bir yerde yine doğru üzerinde bir nokta daha işaretleyelim ve bu noktaya A diyelim ve 1 sayısını buraya eşleyelim. uzunluğu 1 birim olmak üzere 2 sayısını O dan 2 yani 2 birim uzaklıkta sağ tarafta işaretleyelim. ½ sayısını O ile A nın orta noktası ile eşleyelim. Benzer şekilde bütün rasyonel sayıları bu sayı doğrusu üzerinde işaretlediğimizi kabul edelim. Ne kadar biribirine yakın olursa olsun iki farklı rasyonel sayı arasında bir başka rasyonel sayı vardır. Gerçekten; a ile b biribirinden farklı iki rasyonel sayı ise c=a+ sayısı da rasyonel bir sayıdır ve a ile b arasındadır, yani a<a+<a+(b-a)=b dir. Benzer şekilde hareket ederek a ile c arasında bir başka rasyonel sayı bulabiliriz ve böyle devam ederek sonsuz çoklukta rasyonel sayı bulunduğunu görürüz. Bu şekilde tespit edebildiğimiz bütün rasyonel sayıların temsil ettiği uzunlukları doğru üzerinde eşlediğimizi ve negatif rasyonel sayıları da bunların 0 ya uzaklıklarının ayni uzaklıkta ve bu sefer O noktasının sol tarfında işaretleyelim. Bu şekilde bütün rasyonel sayıları sayı doğrusu (ekseni) üzerinde işaretlediğimizi düşünelim. Bu bize sanki sayı ekseni üzerindeki her uzunluğa karşılık gelen sayıyı temsil eden noktanın işaretlendiği yanlış izlenimini verir. Oysa dik kenarları 1 er birim uzunlukta olan bir dik ikiz kenar üçgenin hipotenüsünün uzunluğu dir ve bu sayı rasyonel değildir. Gerçekten; eğer rasyonel bir sayı olsaydı p ile q aralarında asal olmak üzere, yani p ile q , 1 den başka ortak böleni olmayan doğal sayılar olmak üzere = şeklinde yazılabilirdi. Bu eşitliğin her iki yanının karesini alırsak, 2= elde ederiz. Buradan p2=2q2 elde ederiz. Bu ise p2 sayısının q2 doğal sayısının iki katı olmasını ifade etmektedir. O halde p2 doğal sayısı çifttir. Bir doğal sayının karesi çift ise kendisi de çift olacağından p doğal sayısı çifttir. p doğal sayısı bir doğal sayının iki katına eşit olarak yazılabilir, yani p=2p1 olacak şekilde bir p1 doğal sayısı vardır. p nin bu değerini p2=2q2 eşitliğinde yazarsak, (2p1)2=2q2 ve dolayısıyla 4(p1)2=2q2 ve bundan da q2 =2(p1)2 elde edilir. Bu ise q2 nin çift olması demektir. Bir doğal sayının karesi çift ise kendisi de çift olacağından q doğal sayısı çifttir, dolayısıyla q=2q1 olacak şekilde bir q1 doğal sayısı vardır. Böylece p=2p1 ve q=2q1 olacak biçimde p1 ve q1 doğal sayıları bulunmuş olur. Bu ise p ile q nun aralarında asal olmaları ile çelişir. Bu çelişkiye = şeklinde yazılabildiğini yani sayısının rasyonel bir sayı olduğunu varsaydığımız için düştük. O halde sayısı rasyonel değildir.








  2. Dr Zeynep
    Bayan Üye





    1.6. Alıştırmalar (Rasyonel Sayılar)

    1) sayısının rasyonel olmadığını ispat ediniz.

    2) 1+ sayısının rasyonel olmadığını ispat ediniz.

    3) Rasyonel iki sayının toplamı da rasyoneldir. İspat ediniz.

    4) Rasyonel iki sayının çarpımı da rasyoneldir. İspat ediniz.

    5) Paydadaki sıfırdan farklı olmak üzere rasyonel iki sayının bölümü de rasyoneldir. İspat ediniz.

    6) Rasyonel olmayan bir sayı ile rasyonel bir sayının toplamının rasyonel olmadığını ispat ediniz.

    7) eşitliğinin sağlandığını gösteriniz.

    8) Her a ve b sayısı için f(a+b)=f(a)+f(b) özelliğine sahip bir fonksiyon f olsun. Bu takdirde her rasyonel a sayısı için f( a a)= a f(a) eşitliği sağlanır. İspat ediniz. (Yol Gösterme: Önce eşitliğin her m tamsayısı için eşitliğinin sağlandığını hatırlayalım. Herhangi bir rasyonel sayı olsun. Bu takdirde yani elde edilir. Bu son eşitliğin her iki yanını q ile çarparsak, olduğundan, olur. Buradan da elde edilir.).

    9) Biribirinden farklı iki rasyonel sayı arasında mutlaka bir irrasyonel sayı vardır. (Yol gösterme: a ile b biribirinden farklı iki rasyonel sayı olsun. Bu takdirde sayısı irrasyonel bir sayıdır ve a ile b arasındadır.).

    10) Biribirinden farklı iki reel sayı arasında mutlaka bir rasyonel sayı bulunduğunu ispat ediniz. (Yol Gösterme: Biribirinden farklı herhangi iki reel sayı x ile y olsun ve x<y kabul edelim. y-x=b diyelim. Arşimet aksiyomundan dolayı olacak şekilde bir n doğal sayısı vardır. Buradan elde edilir. Şimdi sayılarını gözönüne alalım. Bu sayılardan en az bir tanesi x ile y arasında olmak zorundadır. Eğer böyle olmasaydı yani bu sayıların hiç biri x ile y arasında bulunmasaydı bir m tamsayısı için olurdu ki buradan bulunurdu ki bu da bir çelişkidir. O halde en az bir m tamsayısı için eşitsizliği sağlanır. olduğundan ispat elde edilmiş olur.).

    11) , , olduğuna göre

    olduğunu gösteriniz.

    12) Eğer ise her pozitif n doğal sayısı için

    Rasyonel sayılar ve rasyonel sayıların eşitliği.png





  3. Nesrin
    Devamlı Üye
    Rasyonel sayılar matematiğin en kolay konusudur. ancak en çok da hata yapılan konularından biridir. bunu sebebi kolay denilip çalışılmaması. çalışılmadığı zaman da rasyonel sayıların çözülürken yapılması gereken yani dikkat edilmesi gereken kurallar bilinmemektedir. bu yüzden yapmanız gereken işlem önceliklerini ve rasyonel sayıların özelliğimi bilmektir.




+ Yorum Gönder


rasyonel sayıların eşitliği